[수학] 삼각함수의 기본 - sin cos tan의 정의와 주기/ 사인, 코사인, 탄젠트에 대한 간단한 정리

어쩌다 내가 여기까지 왔을까. 간단한 건 아는데, 정말 다 까먹어버렸다. 해서 초심으로 돌아가는 의미에서 작성해 보고자 한다.

 

 

 

1. sin, cos, tan의 정의

sin, con, tan는 삼각함수에 활용된다. 기본적인 정의는 직각삼각형을 통한 정의로서 바라보면, 직각삼각형의 "빗변", "밑변", "높이"간의 비율을 의미한다.

여기서 중요한 점은 "빗변", "밑변", "높이"의 크기와 상관없이 직각삼각형이고, 기준각(θ)이 동일하다면, 비율이 동일한다는 점이다.

 

그림을 통해 이해해보자

위의 그림과 같이 정의되고, 추가적으로 sin, cos, tan의 역원인 csc(코시컨트), sec(시컨트), cot(코탄젠트)도 함께 정의해봤다. 

 

삼각함수의 기본 개념이기에, 관련해서 다양한 공식, 정리가 있다. 모두 정리하는 건 내 역량상 굉장히 부족하기에 불가능하고, 주기까지 정리해보고 마무리하겠다.

 

2. sin, cos, tan의 주기

위키백과에 너무 정리가 잘돼 있다.

sin, cos 주기그래프

tan 주기그래프

 

주기를 이해하기 위해선 단위원을 기준으로 한 정의를 알아야 한다..(하기 싫은데..)

좌표계에서 반지름 r이 1인, 원을 단위원이라고 하는데, 이 단위원을 기준으로 sin, cos, tan 값을 구해보면 위와 같이 나온다. 단위원이 아닌 특정 반지름 r의 원의 경우엔, 위의 공식에 r을 곱해주면 되겠다.

 

위 공식을 단위원 내에 그려질 수 있는 대표적인 호의 각(라디안)에 대입해보면

위에서의 그림에서 정리한 것처럼 cosθ = x, sinθ = y이기 때문에, 0~2π(0~360˚)의 동안 늘었다, 줄었다를 반복해 원래의 값으로 돌아오게 된다.

 

먼저 위의 그림을 통해, 0~π/2와 π/2~π의 sin, cos, tan의 증가, 감소 등의 변화를 간략하게 작성해봤다.

이를 표로 작성해보면,

 

	0 ~ π/2	π/2 ~ π	π ~ 3π/2	3π/2 ~ 2π
cosθ(=x)	1~0으로 이동(감소)	0~-1로 이동(감소)	-1~0으로 이동(증가)	0~1로 이동(증가)
sinθ(=y)	0~1로 이동(증가)	1~0으로 이동(감소)	0~-1로 이동(감소)	-1~0으로 이동(증가)
tanθ(=y/x)	0~1/1~0(0 ~ ∞)	1~0/0~-1(∞~-1~ 0)	0~-1/-1~0(0 ~ ∞)	-1~0/0~1(∞~-1~0)

어디서도 볼 수 없는 근본 없는 표이지만, 위키백과와 검색하면 나오는 주기에 대한 정리를 이해할 수 있겠다.

 

0~2π을 4 분할해서 증가, 감소 등의 값 변화를 살펴보면, 각각의 주기를 알 수 있는데,

cosθ의 경우에는 감소, 감소, 증가, 증가로 주기를 "2π"로 볼 수 있고,

sinθ의 경우에는 증가, 감소, 감소, 증가로 주기를 "2π"로 볼 수 있고,

tanθ의 경우에는 (0 ~ ∞), (∞ ~ 0),(0 ~ ∞),(∞ ~ 0)으로 주기를 "π"로 볼 수 있다.

 

이 과정을 통해 앞선 위키백과의 sin, cos, tan의 주기 그래프를 이해할 수 있게 됐다.

바쁘니까 소감 등은 생략. 아~ 재밌다.

 

* 참조

- https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%BC%EA%B0%81%ED%95%A8%EC%88%98